Tschudi entstammte einer Lehrerfamilie und wuchs in Basel auf. Nach dem Studium der Rechtswissenschaft und der Promotion an der Universität Basel arbeitete er als Adjunkt des kantonalen Arbeitsamts und als Vorsteher des Gewerbeinspektorats Basel-Stadt. Nach seiner Habilitation wurde er 1952 Professor für Arbeitsrecht an der Universität Basel. 1936 trat Tschudi der Sozialdemokratischen Partei (SP) bei, 1943 ebenfalls der Gewerkschaft VPOD. 1944 wurde er in den Grossen Rat des Kantons Basel-Stadt gewählt, 1953 erfolgte die Wahl in den Regierungsrat, 1956 zusätzlich in den Ständerat. Als Vorsteher des Departements des Innern initiierte Tschudi unter anderem das Basler Invalidenfürsorgegesetz. 1959 wählte die Bundesversammlung Tschudi - zusammen mit dem Sozialdemokraten Willy Spühler und den Katholisch-Konservativen Jean Bourgknecht und Ludwig von Moos - in den Bundesrat. Der damalige Bundesrat setzte sich erstmals nach der so genannten Zauberformel zusammen, nach der die SP mit zwei Sitzen in die Regierungsverantwortung eingebunden wurde. Bereits bei seiner Wahl galt Tschudi als pragmatischer Sozialdemokrat, der dem Kollegialitätsprinzip und der politischen Konkordanz verpflichtet war. Tschudi übernahm das Eidgenössische Departement des Innern, wo sein speditiver Arbeitsstil bald als "Tschudi-Tempo" bekannt war. In die Zuständigkeit des Departements fielen - nebst der Sozial- und Gesundheitspolitik - unter anderem der Bau der Nationalstrassen, die Bildungs-, Forschungs- und Kulturpolitik sowie - als noch junges Politikfeld - der Umweltschutz. In Tschudis Amtszeit, die mit einem anhaltenden Wirtschaftsboom und einer generellen Ausweitung der Staatstätigkeit zusammen fiel, stieg das Budget seines Departements (inkl. Sozialausgaben) von einer halben auf knapp sechs Milliarden Franken. 1973 trat Tschudi aus dem Bundesrat zurück. Bis in die 1980er-Jahre hinein lehrte er an den Universitäten Basel und Bern und engagierte sich unter anderem als Präsident der Pro Senectute und als Mitglied des Internationalen Komitee des Roten Kreuzes.

Der Ausbau der Sozialen Sicherheit bildete einen Schwerpunkt in Tschudis Amtstätigkeit. Wie kaum ein anderer Politiker stand Tschudi für eine expansive Sozialpolitik auf der Grundlage wirtschaftlicher Prosperität. Er war für mehrere AHV-Revisionen verantwortlich, mittels denen die Renten der Preis- und Lohnentwicklung angepasst und einzelne Leistungen ausgebaut wurden. Substantielle Rentenerhöhungen brachte vor allem die 8. AHV-Revision (1972). Tschudi forcierte ebenfalls die Einführung der Ergänzungsleistungen (1965) und war - anders als seine Partei - von Beginn an ein überzeugter Verfechter des Drei-Säulen-Modells und des Obligatoriums in der beruflichen Vorsorge (1972). Seine Amtszeit widerspiegelt damit nicht nur den Ausbau der AHV, sondern auch die Ergänzung (und Begrenzung) der ersten Säule (AHV) durch die zweite und dritte Säule (Pensionskassen und freiwilliges Alterssparen). Kein Erfolg war dagegen dem Versuch beschieden, ein Teil-Obligatorium in der Krankenversicherung einzuführen (1974) und so weiter gehende sozialpolitische Initiativen der Linken zu kanalisieren. Mittelfristig erfolgreicher war der Anstoss für einen erweiterten Geltungsbereich der Unfallversicherung, die allerdings erst nach seiner Amtszeit wirksam wurde (1984).