Als Sohn eines Lehrers und Bauers wuchs Stampfli in einer mittelständigen Familie in Büren (Solothurn) auf. Nach der Matura studierte er an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich und promovierte später an der Universität Zürich. Zudem erwarb er in Deutschland das Diplom eines Versicherungskaufmanns. Er heiratete 1917 und wurde Vater von drei Kindern. Stampflis politische Karriere begann 1908 als Redaktor des Oltener Tagblatts. 1912 wurde er für den Freisinn in den Solothurner Kantonsrat und 1931 in den Nationalrat gewählt. 1921 trat Stampfli in die Firma Von Roll ein. 1929 wurde er Direktor für kaufmännische und soziale Aufgaben und war in dieser Funktion auch für die Sozialeinrichtungen des Unternehmens zuständig. Stampfli engagierte sich in dieser Zeit auch im "Schweizerischen Verein der Unterstützungskassen und Stiftungen für Alter und Invalidität" (SVUSAI), dem Verband der privaten Vorsorgeeinrichtungen. Als Politiker vertrat er die Interessen der Industrie und wehrte sich gegen staatliche Eingriffe in die Wirtschaft. 1931 unterstützte er die Lex Schulthess, gleichzeitig befürwortete er den Ausbau der privaten Altersvorsorge. Nach seiner Wahl in den Bundesrat (1940) war Stampfli, der über gute Kontakte im Ausland verfügte, für die Wirtschaftsverhandlungen mit Deutschland und den Alliierten sowie für die Organisation der Kriegswirtschaft zuständig. Nach dem Krieg bereitete er als Vorsteher des EVD die neuen Wirtschaftsartikel vor, die Staatseingriffe in die Wirtschaft ermöglichten und im Gegenzug die Wirtschaftsverbände in den politischen Entscheidungsprozess einbanden. Nach seinem Rücktritt aus dem Bundesrat (Ende 1947) übernahm Stampfli das Verwaltungsratspräsidium der Von Roll. Zudem engagierte er sich, selber Vater einer behinderten Tochter, für die Integration von Menschen mit Behinderungen in den Arbeitsprozess.

Als Chef des Eidgenössischen Volkswirtschaftsdepartements, zu dem damals das Bundesamt für Sozialversicherung (BSV) gehörte, war Stampfli für die Vorbereitungen der AHV zuständig, die Ende der 1930er-Jahre wieder aufgenommen wurden. Geprägt von den Erfahrungen des Ersten Weltkriegs, räumte er in den ersten Kriegsjahren dem Ausbau der Arbeitslosenfürsorge Vorrang ein und lehnte eine Verwendung der Überschüsse der Lohn- und Verdienstersatzordnung für die AHV vorerst ab. Erst unter dem Eindruck zahlreicher politischer Vorstösse begann Stampfli 1943, die AHV energisch voranzutreiben. In der Neujahrsansprache von 1944 kündigte er öffentlichkeitswirksam die baldige Verwirklichung einer staatlichen Altersvorsorge an. Einen Monat später setzte der Bundesrat eine Expertenkommission ein, die unter enger Begleitung des BSV die Grundzüge der AHV (Umlageverfahren, Finanzierung durch Lohnprozente) entwickelte. Während der Beratungen in der Kommission und im Parlament gelang es Stampfli, Parteien, Wirtschaftsverbände und Gewerkschaften hinter das Projekt einer bescheiden ausgestatteten AHV zu scharen. Gleichzeitig führte die Fokussierung auf die AHV dazu, dass Optionen für einen umfassenden Ausbau der sozialen Sicherheit, wie sie etwa der britische Beveridge-Plan präsentierte, in der Schweiz kaum diskutiert oder gar offen abgelehnt wurden. Das Modell einer schmalen AHV - man sprach von "Basisrenten" - bot genügend Raum für die Weiterführung privatwirtschaftlicher Vorsorgeeinrichtungen, was ganz im Sinn der Pensionskassenlobby lag, zu deren Repräsentanten Stampfli in der Zwischenkriegszeit gehört hatte. Zu Stampflis grosser Zufriedenheit nahm das Stimmvolk am 6. Juli 1947 die AHV-Vorlage an. Das neue Sozialwerk nahm seine Tätigkeit am 1. Januar 1948 auf.